根据您提供的信息，关于蒙古和北京的距离问题,可以分析如下：
蒙古国与中国的边境线长达4700公里，北京与蒙古边界直线距离大致在568公里左右，这意味着，在某种程度上,北京确实与蒙古之间存在着一定的距离。
皇太极作为当时的军事人物，绕道蒙古部落，过长城攻击北京，这无疑是一个充满战略和策略的行动，他之所以敢于这样做,背后隐藏着许多值得探究的因素。
从历史背景来看，后金时期后金军队多次进攻关宁锦防线，久攻不下，损失严重，在这种情况下，袁崇焕预料到皇太极可能采取绕道蒙古的行动，这表明皇太极的行动并非轻易决定,而是经过深思熟虑和充分准备的。
从战略角度来看，皇太极选择从喜峰口入关，一方面可能是为了避开明军的严防死守，另一方面也可能是为了寻找更多的战略机会，他可能已经发现了一些关于后金的情报或信息,使得他相信通过这样的路线可以更容易地进入北京等关键城市。
皇太极的行动并非没有风险，他需要考虑到后方可能的空虚和可能的反击，如果关宁铁骑或皮岛部队攻击他的老巢沈阳，一旦沈阳被攻下，后金兵可能面临严重的后果,袁崇焕敢那么做的原因可能是他相信后金的实力和决心足以应对这样的挑战。
后金时期的其他因素也起到了关键作用，袁崇焕可能得到了崇祯的支持和调遣，以及皮岛部队在军事上的表现并不如预期，毛文龙虽然对后金有一定的牵制作用,但在某些情况下可能不足以应对整个局势。
关于皇太极的底气来源，可以从多个角度进行解读，一方面是后金的军事实力和战略眼光；另一方面是袁崇焕的勤王行动和后金的战略意图得到了有效的执行和回应，后金在历史上一直有着强大的军事能力和民众支持,这也是皇太极敢于冒险的原因之一。
皇太极绕道蒙古部落、从喜峰口入关的行为充满了策略性和不确定性,他的行动背后隐藏着许多值得探究的因素和历史背景。
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